量易简

电路量子电动力学

背景

上一节介绍了各种实现量子计算的硬件平台。其中，超导电路方案具有良好的扩展性和相对成熟的控制技术，并且在超导量子计算平台上已经实现了对量子计算优越性的验证。本节将具体介绍利用超导电路构建量子比特的方法，并引入电路量子电动力学来解释量子控制和量子读取的物理原理。

超导量子比特的物理实现

超导量子电路的理论基础是量子电动力学（Quantum Electrodynamics, QED）。量子电动力学是用量子力学解释经典电磁学的理论，其研究对象是电磁相互作用的量子性质（即光子的发射和吸收）、带电粒子的产生和湮灭、带电粒子间的散射、带电粒子与光子间的散射等等。它概括了原子物理、分子物理、固体物理、核物理和粒子物理各个领域中的电磁相互作用的基本原理。下面将介绍如何利用量子电动力学量子化一个简单的谐振电路。

谐振电路量子化

在经典电路理论中，一个简单的谐振电路由一个电感 $L$ 和一个电容 $C$ 串联而成，如图 1 所示：

该系统的能量 $H$ 由两部分组成，分别为电感能和电容能，写为：

\begin{matrix} H = \frac{1}{2} C V^{2} + \frac{1}{2} L I^{2} = \frac{q^{2}}{2 C} + \frac{Φ^{2}}{2 L} . \\ (1) \end{matrix}

其中， $Φ$ 是电感上的磁通， $q$ 是电容上累积的电荷量。

为了容易理解量子化上述谐振电路的过程。我们先介绍量子力学中一个基础模型：量子谐振子（Quantum Harmonic Oscillator），它描述了一个在一维空间（坐标为 $x$ ）势场 $V (x) = \frac{1}{2} k x^{2}$ 下做周期性振荡简谐振子的动力学过程，类似经典弹簧振子。该谐振子模型的哈密顿量写为：

\begin{matrix} ^H = \frac{{^p}^{2}}{2 m} + \frac{1}{2} k {^x}^{2} . \\ (2) \end{matrix}

其中， $^x$ 为谐振子的坐标算符， $^p$ 为谐振子的动量算符。动量 $^p$ 和坐标 $^x$ 满足对易关系 $[^x,^p] = i ℏ$ ，其中 $ℏ$ 为约化普朗克常数。定义产生算符 ${^a}^{†}$ （也称为上升算符），湮灭算符 $^a$ （也称为下降算符），分别描述谐振子粒子数的增加和减少（谐振子能级的上升和下降）：

\begin{matrix} ^a = \sqrt{\frac{m ω}{2 ℏ}} (^x + \frac{i}{m ω}^p) . \\ (3) \end{matrix}

\begin{matrix} {^a}^{†} = \sqrt{\frac{m ω}{2 ℏ}} (^x - \frac{i}{m ω}^p) . \\ (4) \end{matrix}

反解 $^x$ 和 $^p$ 并将 $^a$ 和 ${^a}^{†}$ 代回表达式 $(2)$ 。这一过程就是一个简单的二次量子化过程：

\begin{matrix} ^H = ℏ ω ({^a}^{†}^a + \frac{1}{2}) . \\ (5) \end{matrix}

其中， $ω = \sqrt{k / m}$ 为谐振子的本征频率。

根据电路分析，电荷 $q$ 与磁通 $Φ$ 满足： $d q / d t = Φ / L = I$ 。通过对比 LC 谐振电路的能量表达式 $(1)$ 和量子谐振子的能量表达式 $(2)$ ，做出如下对应关系：

电磁学量	力学量
$^Φ$	$^x$
$^q$	$^p$
$C$	$m$
$\frac{1}{L}$	$k$
$\sqrt{\frac{1}{L C}}$	$ω$
$\sqrt{\frac{C ω}{2 ℏ}} (^Φ + \frac{i}{C ω}^q)$	$^a$
$\sqrt{\frac{C ω}{2 ℏ}} (^q - \frac{i}{C ω}^Φ)$	${^a}^{†}$

表 1 : 电 路 参 量 与 力 学 量 对 应 表

其中， $ω = \frac{1}{\sqrt{L C}}$ 为谐振子的本征频率。 $^Φ$ 和 $^q$ 也满足类似的对易关系： $[^Φ,^q] = i ℏ$ 。因此，量子化 LC 谐振电路的哈密顿量，可类比简谐振子（由式 $(5)$ 描述）。即 LC 谐振电路可看作一个谐振子。由于 LC 谐振电路涉及到的变量与电磁场相关，因此电磁场可以通过量子电动力学，进行二次量子化后使用升降算符来表示。所谓二次量子化，本质就是电磁场的量子化，将场（通常是波函数）视作场算符，类似于一次量子化中将位置，动量等物理量视为算符。

引入粒子数算符 $^n = {^a}^{†}^a$ ，此时有 $^H = ℏ ω (^n + \frac{1}{2})$ 。粒子数算符的本征值是整数，电路二次量子化后，其能量分布如图 2 所示（图中 $ω$ 代表谐振子的本征频率），分离成从 $n = 0$ 到 $n = \infty$ 阶梯状离散增加的能级。根据波粒二象性的原理，电磁场既可以看作是电磁波，也可视作光子。电磁场能量的增加和减少并不是连续的，电磁场能级的跃迁对应一个光子的产生或湮灭，而升降算符 ${^a}^{†}$ 和 $^a$ 描述产生和凐灭光子的过程。

约瑟夫森结和 Transmon 量子比特

二次量子化 LC 谐振电路，得到一系列等间距的能级 $E_{n} = (n + 1 / 2) ℏ ω$ ，类似原子能级，如图 2 所示。然而，由于这些能级之间的间距相等，当该“原子”被激发，从某一态跃迁到另一态时（比如从基态 $| 0 ⟩$ 到第一激发态 $| 1 ⟩$ ），会不可避免地导致其他能级间的跃迁，能量泄漏到更高的能级（比如 $| 2 ⟩, | 3 ⟩, \dots$ ）。要解决这个问题，各能级间的能量差不能相等。在电路中引入一些非谐特性（Anharmonicity），使得各能隙间产生差异（ $E_{1} - E_{0} \neq E_{2} - E_{1} \dots$ ），以避免在量子门操作时产生能量泄漏。

为实现非谐特性，可以在电路中引入非线性器件，约瑟夫森结。约瑟夫森结（图3），是由两块超导体夹以某种很薄的绝缘层构成的结构。两侧超导体内的库珀对能够通过量子隧穿效应穿过绝缘层。约瑟夫森结的哈密顿量可以写成：

\begin{matrix} {^H}_{J} = 4 E_{c} {^n}^{2} - E_{J} cos (2 π \frac{^Φ}{Φ_{0}}) . \\ (6) \end{matrix}

其中， $^n =^q / (2 e)$ 为约瑟夫森结的粒子数算符， $Φ_{0} = h / 2 e$ 为磁通量子， $E_{c} = e^{2} / 2 C_{Σ}$ 为约瑟夫森结两侧的电容能， $C_{Σ}$ 包括了结电容 $C_{J}$ 以及并联的大电容， $E_{J}$ 为约瑟夫森结合能。

基于约瑟夫森结的超导电路设计如上图所示，在实际设计中，关于约瑟夫森结的 $E_{J}$ 和 $E_{c}$ 的设计有很多种选择，其中最为常见的为 Transmon 量子比特 $^{[1]}$ 。Transmon 量子比特中，选用 $E_{J} ≫ E_{C}$ 来抑制外部电荷对系统本征能级产生的影响，即降低系统对电荷变化的敏感度。约瑟夫森结的哈密顿量 $(6)$ 与之前的 LC 谐振电路的哈密顿量 $(5)$ 有很大的不同。然而，如果只取 $cos \frac{2 π^Φ}{Φ_{0}}$ 的 Taylor 展开前几项，与线性谐振子有相似的形式，其中 $^φ = 2 π \frac{^Φ}{Φ_{0}}$ ：

\begin{matrix} \begin{matrix} ^H & = 4 E_{c} {^n}^{2} - E_{J} cos^φ = l i n e a r      4 E_{c} {^n}^{2} + E_{J} \frac{{^φ}^{2}}{2} - E_{J} \frac{{^φ}^{4}}{24} . \end{matrix} \\ (7) \end{matrix}

在 $E_{J} ≫ E_{C}$ 的情况下将 $^Φ$ 和 $^n$ 用升降算符 ${^a}^{†}$ ， $^a$ 表示，得到包含非线性作用项的哈密顿量：

\begin{matrix} \begin{matrix} ^\frac{H}{ℏ} & = l i n e a r      ω ({^a}^{†}^a + \frac{1}{2}) + \frac{α}{2} {^a}^{†} {^a}^{†}^a^a . \end{matrix} \\ (8) \end{matrix}

$α$ 是非谐系数，一般为负数，定义为： $α = ω^{| 1 ⟩ \to | 2 ⟩} - ω^{| 0 ⟩ \to | 1 ⟩}$ 。

通常实现这一效果的手段，除了在工艺上调整约瑟夫森结的参数外，还有在约瑟夫森结两端并联一个大电容来降低系统的电容能量 $E_{C}$ 。因为系统的非谐特性引入不等的能级间距，我们可以将能量限制在特定的区间中，只考虑 Transmon 量子比特最低的两个能级，得到一个二能级系统，即：

\begin{matrix} ^H = ℏ ω \frac{_{z}}{2} . \\ (9) \end{matrix}

其中， ${^σ}_{z}$ 为泡利 $Z$ 矩阵。与式 $(7)$ 相比，此式忽略了非谐项的影响。在设计量子比特的物理结构或者分析量子比特在工作中泄露到高能级（ $| 2 ⟩, | 3 ⟩, | \dots ⟩$ ）的情况时，则需要使用 $(8)$ 去考虑非谐特性产生的影响。

超导量子比特的耦合和大规模量子比特电路

为了实现通用量子计算所需的双量子比特门，需要使两个量子比特产生耦合。在超导量子电路中，两个超导量子比特可以通过一个电容进行直接耦合，如图 5 所示。

其中电容耦合能 $E_{g}$ 为：

\begin{matrix} E_{g} = C_{g} V_{1} V_{2} = C_{g} \frac{q_{1}}{C_{1}} \frac{q_{2}}{C_{2}} . \\ (10) \end{matrix}

其中 $V_{i}$ 为第 $i$ 个量子比特上的电势， ${^q}_{i}$ 为第 $i$ 个量子比特上的电荷。考虑到 $^q \propto (^a + {^a}^{†})$ ，有

\begin{matrix} E_{g} \propto ({^a}_{1} + {^a}_{1}^{†}) ({^a}_{2} + {^a}_{2}^{†}) ⟹ ℏ g ({^a}_{1} + {^a}_{1}^{†}) ({^a}_{2} + {^a}_{2}^{†}) . \\ (11) \end{matrix}

其中 $g$ 为耦合系数。

在这种耦合方式中，耦合强度取决于两个超导量子比特间的耦合电容 $C_{g}$ 以及各自的电容 $C_{1}$ 、 $C_{2}$ 。通过调控超导电路的参数，可以在一定范围内调节超导量子比特间的耦合强度。这种直接耦合的设计可以让量子比特紧凑地排列在量子芯片上，无需额外的耦合器件，也避免引入新的状态空间。

除了上述直接耦合的方式外，还可以通过谐振腔实现耦合，如图 6 所示，这种耦合方式的耦合强度取决于量子比特的本征频率 $ω_{q}$ 与谐振腔频率 $ω_{r}$ 的频率差，即失谐。通过这种器件结构设计，谐振腔相当于一个大型的总线结构，可以同时耦合多个量子比特。此外，通过谐振腔，可以在量子芯片上实现较远距离的量子比特间耦合，给量子电路的布线提供更多的灵活性。

另外，还可以利用频率可调的超导量子谐振腔代替普通谐振腔，如图 7 所示。可调的超导量子比特被称作可调总线（Tunable Bus）。可以通过改变耦合器的本征频率，调节其和量子比特的失谐，进而调控量子比特之间的耦合强度。这样的设计除了可以抑制寄生耦合，还能够更加灵活地实现复杂的量子比特电路。

量子控制和测量的物理原理

根据上一节所提到的 DiVincenzo 准则，量子计算机须具备执行量子通用门、测量量子比特状态的能力。量子控制是实现通用量子门的物理方法。对于量子测量，我们希望在读取过程中尽可能不破坏量子比特的相干态，因此量子比特的测量方式是通过对耦合谐振腔色散读取的间接方式实现的。本小节将简介量子控制和测量的物理原理。

超导电路的量子控制

Transmon 量子比特的控制电路如图 8 所示： Transmon 通过电容 $C_{i n}$ 连接到右侧的电压源。通过调节外部的电压源，可以实现对量子比特的控制。

作为类比，可以考虑经典的受迫振动谐振子： $H_{d r i v e} = E_{d r i v e} = F_{d r i v e} \cdot x$

\begin{matrix} \begin{matrix} F_{d r i v e} & \propto A_{x} (t) cos (ω_{d} t) + A_{y} (t) sin (ω_{d} t) x & \propto (^a + {^a}^{†}) F_{d r i v e} \cdot x & \propto (A_{x} (t) cos (ω_{d} t) + A_{y} (t) sin (ω_{d} t)) (^a + {^a}^{†}) . \end{matrix} \\ (12) \end{matrix}

同样，输入电压在量子比特上产生的效果可以由以下驱动哈密顿量来描述：

\begin{matrix} {^H}_{c t r l} = ℏ \sum k [A_{k}^{x} (t) cos (ω_{d} t) + A_{k}^{y} (t) sin (ω_{d} t)] ({^a}^{†} +^a) . \\ (13) \end{matrix}

其中， $^a$ 和 ${^a}^{†}$ 是湮灭、产生算符； $A_{k}^{x} (t)$ 和 $A_{k}^{y} (t)$ 分别对应于第 $k$ 个驱动电压的 $x$ 和 $y$ 分量。驱动信号的频率 $ω_{d}$ 和量子比特的频率相同。如果我们使用 (9) 的近似，把 $({^a}^{†} +^a)$ 近似为二能级的 $_{x}$ ，把前面的外部电压信号 $\sum_{k = 1}^{C} [A_{k}^{x} (t) cos (ω_{d} t) + A_{k}^{y} (t) sin (ω_{d} t)]$ 二次量子化为 $(^a + {^a}^{†})$ ，我们得到微波与系统相互作用的哈密顿量：

\begin{matrix} \begin{matrix} {^H}_{c t r l} & = ℏ g (^a + {^a}^{†}) {^σ}_{x} = ℏ g (^a + {^a}^{†}) ({^σ}_{+} + {^σ}_{-}) = ℏ g (^a {^σ}_{+} + {^a}^{†} {^σ}_{-}) . \end{matrix} \\ (14) \end{matrix}

其中， ${^σ}_{x}$ 为泡利 $X$ 算符， ${^σ}_{x} = {^σ}_{+} + {^σ}_{-}$ ；而 ${^σ}_{+} = | 1 ⟩ ⟨ 0 | = (\begin{matrix} 0 & 0 1 & 0 \end{matrix})$ ， ${^σ}_{-} = | 0 ⟩ ⟨ 1 |$ = $(\begin{matrix} 0 & 1 0 & 0 \end{matrix})$ 是二能级体系的升降算符； $g$ 为耦合强度。

方程 $(14)$ 又称为 Jaynes-Cummings 哈密顿量。它来源于量子光学中描述二能级原子与单模电磁场的相互作用的 JC 模型。

JC 模型中对电磁场进行量子化，展示了电磁场与二能级系统相互作用时的能量交换导致二能级系统产生拉比振荡。本节的后半部分在量脉平台对这一现象进行了演示。

在旋转波近似下，该哈密顿量可以看作驱动着量子比特在布洛赫球上绕着 $X$ 轴或者 $Y$ 轴的旋转。

由此可以看出，通过调控驱动电压不同分量，可以实现量子比特在布洛赫球上的绕 $X$ 和 $Y$ 轴旋转动，控制驱动的时间和脉冲强度可以调控旋转的角度。此外可以适当地改变量子比特的本征频率，实现围绕 $Z$ 轴的旋转，使之与驱动电压之间产生失谐，从而在哈密顿量里引入 ${^σ}_{z}$ 项，实现量子比特绕 $Z$ 轴的转动。更多关于量子控制的详细讨论可以参考下一节的内容。

量脉实现

下面利用量脉平台，演示 JC 模型下静态相互作用导致的拉比振荡。粒子数表象下量子化电磁场的状态基底表示为 ${| n ⟩}$ ，二能级系统的状态基底为 ${| 0 ⟩, | 1 ⟩}$ ，系统的状态基底为 ${| n, 0 ⟩, | n, 1 ⟩}$ 。考虑到在式 $(14)$ 的作用下，量子态 $| 1, 0 ⟩$ 满足：

\begin{matrix} {^H}_{c t r l} | 1, 0 ⟩ = ℏ g | 0, 1 ⟩ ， {_{c t r l}}^{2} | 1, 0 ⟩ = (ℏ g)^{2} | 1, 0 ⟩ . \\ (15) \end{matrix}

故在该哈密顿量下，初始时刻为 $| 0, 1 ⟩$ 的量子态随时间的演化为：

\begin{matrix} \begin{matrix} e^{- i {^H}_{c t r l} t / ℏ} | 1, 0 ⟩ = cos (g t) | 1, 0 ⟩ - i sin (g t) | 0, 1 ⟩ . \end{matrix} \\ (16) \end{matrix}

由上式可知，在二能级系统中，量子态在基态与激发态之间周期性振荡，称为拉比振荡。为了实现这一过程，在量脉中引入相关的包：

# 引入必要的计算包与量脉的模块
# 请在量脉官网 https://quanlse.baidu.com/ 的快速入门模块找到必要的量脉依赖项与安装导引
# 导入库 numpy 和 math
from numpy import round
from math import pi

# 导入哈密顿量模块
from Quanlse.QHamiltonian import QHamiltonian as qham

# 导入云服务器上的模拟器交互
from Quanlse.remoteOptimizer import remoteOptimize1Qubit

# 导入相关的包
from Quanlse.Utils.Functions import project, basis
from Quanlse.QOperator import duff, create, destroy, driveX
from Quanlse.QOperation import FixedGate


import matplotlib.pyplot as plt
from Quanlse.QWaveform import square
from numpy import kron, array, dot, pi
import numpy as np

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然后根据式 $(14)$ 构建对应的哈密顿量，设电磁场的最高能级为 $n = 6$ ：

# 设置采样间隔周期 (ns), 能级，量子比特数，脉冲的持续时间 (ns) 和耦合强度 g
dt = 0.2
level_qubit = 2
level_field = 6
tg = 20
g = 0.038 * (2 * pi)
qubits = 2

# 调用量脉的模块构建所需的哈密顿量 H_1
H_1 = qham(title='JC_Model', dt=dt, subSysNum=qubits, sysLevel=[level_field, level_qubit])
H_1.addDrift(name = 'JC_coupling1', onSubSys=[0,1], operator=[destroy(level_field), create(level_qubit)], coef=g)
H_1.addDrift(name = 'JC_coupling2', onSubSys=[0,1], operator=[create(level_field), destroy(level_qubit)], coef=g)

# 设置波形
wave = square(t0 = 0, t = 20, a = 0)

# 设置静态哈密顿量的作用时间与幅值
H_1.addWave(onSubSys=[0, 1], operators=[driveX(level_field), driveX(level_qubit)], waves = wave)

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接下来解出这个哈密顿量对应的演化过程：

# 调用量脉的模块得到演化过程
dynamics = qham.simulate(H_1, recordEvolution=True)

# 记录演化的过程
resultlist = dynamics.result[0]['evolution_history']
unitary = dynamics.result[0]['unitary']

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得到初始时刻为 $| 0, 1 ⟩$ 的量子态在二能级系统中的激发态和基态的布居数分布随时间的变化关系：

# 设置时间轴
t = np.linspace(0, 20, 100)

# 初始化列表用于储存演化结果
poplist_0 = []
poplist_1 = []

# 生成初始态
init_state = kron(basis(level_field, 1),basis(level_qubit, 0))

# 将演化过程中的布居数存储并绘制
for i in range(100):
    final_state = dot(resultlist[i], init_state)
    final_state = np.reshape(final_state, (12,1))
    pop_0 = abs(np.vdot(init_state, final_state))**2
    poplist_0.append(pop_0)
    pop_1 = 1 - pop_0
    poplist_1.append(pop_1)
    

plt.plot(t, poplist_0, label="ground state")
plt.plot(t, poplist_1, label="excited state")
plt.legend()
plt.xlabel("Time (ns)")
plt.ylabel("Population of different states")
plt.show()

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超导电路中的量子测量

量子测量，要求量子比特处在驱动色散区域，即量子比特的频率和谐振腔的频率差别远大于耦合项： $Δ = | ω_{q} - ω_{r} | ≫ g$ 。在这一区域，对角化系统哈密顿量 ${^H}_{0} + {^H}_{1}$ 的过程中，可以利用关于耦合强度的二阶微扰近似，从而得到一个量子比特和谐振腔之间的量子非破坏性（Quantum Non-Demolition, QND）相互作用驱动项：

\begin{matrix} {^H}_{Q N D} = (ω_{r} + χ σ_{z}) (a^{†} a + \frac{1}{2}) + \frac{{~ ω}_{q}}{2} σ_{z} . \\ (17) \end{matrix}

所谓非破坏性相互作用，主要指不会破坏谐振腔中的光子数以及量子比特在 $Z$ 方向的状态。这一相互作用来源于谐振腔和量子比特产生耦合，即谐振腔的本征频率取决于量子比特的状态，如图 10 所示，其中 $κ$ 是谱线宽度：LC 谐振子并不完美，共振频率不是一个确定的值，而是以理想值为中心、 $κ$ 为半高宽的正态分布。图中， $χ = g^{2} / Δ$ 。

Measurement Spectrum — 图 10：谐振腔和量子比特耦合耗散耦合下的散射频谱

利用这一效应，通过外部的微波电路测量谐振腔的散射频谱，其共振峰所在的频率对应了量子比特的状态。在这一过程中，虽然测量会使量子比特状态坍缩到观测到的状态，但对量子比特在 $Z$ 轴分量的状态不会产生额外的影响。在后续章节将会对量子比特测量进行详细讨论。

总结

本节主要介绍了超导电路的基本结构、物理实现，控制和测量的方法；详细讨论了基于约瑟夫森结的超导电路设计和超导量子比特之间的耦合背后的物理原理，并基于此进一步引出了超导电路上量子控制与测量的实现过程。本节内容是量子计算硬件层面的基础知识，后面两节将在此基础上结合软件对量子控制与测量进行更深入的讨论。

参考资料

[1] Koch, Jens, et al. "Charge-insensitive qubit design derived from the Cooper pair box." Physical Review A 76.4 (2007): 042319.

最后更新时间：2021年12月20日

背景
超导量子比特的物理实现
量子控制和测量的物理原理
总结
参考资料