量易简

量子相位估计

背景介绍

量子相位估计 $^{[1, 2]}$ （Quantum Phase Estimation, QPE），顾名思义，就是要用量子算法来估计相位。具体来说，就是通过量子算法来估计给定（酉）算符的对应于其某个（或者某些，以叠加态形式表示）本征向量的本征值的相位。由于酉算符的所有本征值的模均为 $1$ ，进而可以被表示为 $e^{2 π i φ}$ ，其中 $0 \leq φ < 1$ 。因此，估计本征值的 相位因子 $φ$ 就相当于估计本征值自身，故相位估计有时也被称为本征值估计（Eigenvalue Estimation）。量子相位估计算法是量子计算中最重要的算法之一，也是很多量子算法能够实现指数加速的重要原因，比如秀尔算法，HHL 算法等。

假设我们有一个酉算符 $U$ 及其一个本征向量 $| u ⟩$ ，同时 $| u ⟩$ 对应的本征值为 $e^{2 π i φ}$ ，那么

\begin{matrix} U | u ⟩ = e^{2 π i φ} | u ⟩ . \\ (1) \end{matrix}

量子相位估计算法的目标就是在给定 $U$ 和 $| u ⟩$ 后给出相位因子 $φ$ 的一个在精度 $ϵ$ 下的估计（简称， $ϵ$ -估计，下同）。这里精度 $ϵ$ 的具体数值可以根据具体问题通过改变量子比特数目来确定。需要特别注意的是，相位 $2 π φ$ 和相位因子 $φ$ 是不同的概念，本节的直接结果是估计 $φ$ ，当然也会间接地估计出相位 $2 π φ$ 。

算法步骤

量子相位估计算法，输入为一个酉算符 $U$ （其控制形式）及其的一个本征态 $| u ⟩$ ，输出为该本征态对应的相位因子 $φ$ 的估计值。此算法需要涉及两个寄存器，其中第一个寄存器，也称辅助寄存器，用于输出相位的估计值，通常包含 $t$ 个量子比特并且初始化为量子态 $| 0 ⟩$ ；另一个寄存器，也称工作寄存器，通常初始化为本征态 $| u ⟩$ 。

注 1. 量子相位估计算法不是直接使用酉算符 $U$ ，而是使用其控制形式，即 $C (U^{2^{j}})$ ：

\begin{matrix} C (U^{2^{j}}) | k ⟩ | x ⟩ = {\begin{matrix} | k ⟩ | x ⟩, & 若 k = 0; | k ⟩ U^{2^{j}} | x ⟩, & 若 k = 1. \end{matrix} \\ (2) \end{matrix}

算法总共可分为四个步骤（具体量子电路如图 1 所示）：

步骤1：均匀叠加：使用 Hadamard 门作用在辅助寄存器上制备均匀叠加态（对应图 1 中状态 $1$ ）；

步骤2：控制酉操作：使用注 1 中 $C (U^{2^{j}})$ 门将相位因子 $φ$ 蕴含为量子态的相对相位（对应图 1 中状态 $2$ ）；

步骤3：量子傅里叶逆变换：使用量子傅里叶变换的逆变换 ${QFT}^{- 1}$ 将相对相位转存为量子态 $| 2^{t} ~ φ ⟩$ （对应图 1 中状态 $3$ ）；

步骤4：测量：通过测量量子态 $| 2^{t} ~ φ ⟩$ ，得到相位因子 $φ$ 的一个估计。

这里辅助寄存器的量子比特数 $t$ 决定最终估计的精度，也就是说算法最终将以一定概率得到 $φ$ 的一个 $2^{- t}$ -近似值。

接下来我们将详细地描述该算法：

初始状态为

\begin{matrix} | 0 ⟩^{\otimes t} \otimes | u ⟩, \\ (3) \end{matrix}

这里工作寄存器 $| u ⟩$ 的量子比特数与 $U$ 作用的量子比特数相同。对初始状态的辅助寄存器的每个量子比特分别作用 Hadamard 门得到状态 $1$ ：

\begin{matrix} (t - 1 ⨂ j = 0 \frac{| 0 ⟩ + | 1 ⟩}{\sqrt{2}}) \otimes | u ⟩ . \\ (4) \end{matrix}

考虑到每个 $C (U^{2^{j}})$ 门都是以 $\frac{| 0 ⟩ + | 1 ⟩}{\sqrt{2}}$ 为控制比特，以 $| u ⟩$ 为目标比特，因此作用 $1$ 个 $C (U^{2^{j}})$ （ $j = 0, 1, 2, \dots, t - 1$ ）门后，有

\begin{matrix} C (U^{2^{j}}) \frac{| 0 ⟩ + | 1 ⟩}{\sqrt{2}} | u ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 ⟩ | u ⟩ + \frac{1}{\sqrt{2}} | 1 ⟩ U^{2^{j}} | u ⟩ . \\ (5) \end{matrix}

结合式 $(1)$ 可知，式 $(5)$ 可化简为

\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 ⟩ | u ⟩ + \frac{1}{\sqrt{2}} | 1 ⟩ e^{2 π i 2^{j} φ} | u ⟩ = \frac{| 0 ⟩ + e^{2 π i 2^{j} φ} | 1 ⟩}{\sqrt{2}} | u ⟩ . \\ (6) \end{matrix}

故作用 $t$ 个 $C (U^{2^{j}})$ 门后得到状态 $2$ （这里注意量子比特顺序）：

\begin{matrix} (t - 1 ⨂ j = 0 \frac{| 0 ⟩ + e^{2 π i 2^{t - 1 - j} φ} | 1 ⟩}{\sqrt{2}}) \otimes | u ⟩ = & \frac{1}{2^{t / 2}} ⎛ ⎝ t - 1 ⨂ j = 0 1 \sum k_{j} = 0 e^{2 π i 2^{t - 1 - j} k_{j} φ} | k_{j} ⟩ ⎞ ⎠ \otimes | u ⟩ = & \frac{1}{2^{t / 2}} ⎛ ⎝ 1 \sum k_{0} = 0 \dots 1 \sum k_{t - 1} = 0 t - 1 ⨂ j = 0 e^{2 π i 2^{t - 1 - j} k_{j} φ} | k_{j} ⟩ ⎞ ⎠ \otimes | u ⟩ = & \frac{1}{2^{t / 2}} ⎛ ⎝ 1 \sum k_{0} = 0 \dots 1 \sum k_{t - 1} = 0 e^{2 π i (\sum_{j = 0}^{t - 1} 2^{t - 1 - j} k_{j}) φ} | k_{0} k_{1} \dots k_{t - 1} ⟩ ⎞ ⎠ \otimes | u ⟩ = & \frac{1}{2^{t / 2}} (2^{t} - 1 \sum k = 0 e^{2 π i k φ} | k ⟩) \otimes | u ⟩, \\ (7) \end{matrix}

其中， $k = (k_{0} k_{1} \dots k_{t - 1})_{2}$ 是 $t$ 位二进制整数。这里式 $(7)$ 的证明可以参考 4.2 节的式 $(13)$ 。

对辅助寄存器做量子傅里叶逆变换得到状态 $3$ ：

\begin{matrix} \frac{1}{2^{t}} 2^{t} - 1 \sum l = 0 2^{t} - 1 \sum k = 0 e^{2 π i k φ} e^{- 2 π i k l / 2^{t}} | l ⟩ \otimes | u ⟩ = \frac{1}{2^{t}} 2^{t} - 1 \sum l = 0 2^{t} - 1 \sum k = 0 e^{2 π i k (φ - l / 2^{t})} | l ⟩ \otimes | u ⟩, \\ (8) \end{matrix}

并简记该状态为 $| 2^{t} ~ φ ⟩ \otimes | u ⟩$ 。

对辅助寄存器沿着计算基做测量，即可得到 $φ$ 的一个好的估计值 $~ φ$ 的二进制表示。

算法结果与分析

从上面的算法步骤中，我们得到算法最终的输出状态（仅辅助寄存器）为

\begin{matrix} | 2^{t} ~ φ ⟩ := \frac{1}{2^{t}} 2^{t} - 1 \sum l = 0 2^{t} - 1 \sum k = 0 e^{2 π i k (φ - l / 2^{t})} | l ⟩ . \\ (9) \end{matrix}

此时，只需考察式 $(9)$ 中的量子态的概率幅，即可知道对该量子态测量后的每个可能结果出现的概率，也就知道了对 $φ$ 估计的好与差。

引理 1. 式 $(9)$ 中

\begin{matrix} 2^{t} - 1 \sum k = 0 e^{2 π i k (φ - l / 2^{t})} = ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ \begin{matrix} 2^{t}, & 若 2^{t} φ \in Z 且 2^{t} φ = l; 0, & 若 2^{t} φ \in Z 且 2^{t} φ \neq l; \frac{1 - e^{2 π i (2^{t} φ)}}{1 - e^{2 π i (φ - l / 2^{t})}}, & 若 2^{t} φ \notin Z . \end{matrix} \\ (10) \end{matrix}

证明. 因为

\begin{matrix} 2^{t} - 1 \sum k = 0 e^{2 π i k (φ - l / 2^{t})} = 2^{t} - 1 \sum k = 0 (e^{2^{1 - t} π i (2^{t} φ - l)})^{k} \\ (11) \end{matrix}

为等比数列求和，因此，（i）若 $2^{t} φ = l$ ，则式 $(11)$ 可化简为 $\sum_{k = 0}^{2^{t} - 1} (e^{0})^{k} = 2^{t}$ ；（ii）若 $2^{t} φ \neq l$ ，则式 $(11)$ 化简为

\begin{matrix} \frac{{(e^{2^{1 - t} π i (2^{t} φ - l)})}^{0} - {(e^{2^{1 - t} π i (2^{t} φ - l)})}^{2^{t}}}{1 - e^{2 π i (φ - l / 2^{t})}} = \frac{1 - e^{2 π i (2^{t} φ - l)}}{1 - e^{2 π i (φ - l / 2^{t})}} = \frac{1 - e^{2 π i (2^{t} φ)}}{1 - e^{2 π i (φ - l / 2^{t})}} . \\ (12) \end{matrix}

其中，若 $2^{t} φ \in Z$ ，则有式 $(12)$ 等于 0。综上所述，引理 1 得证。 $□$

接下来，根据引理 1，我们分为两种情况进行阐述。如果 $2^{t} φ$ 是整数，那么式 $(9)$ 中所有 $| 2^{t} φ ⟩$ 以外的计算基态 $| l ⟩$ 所对应的概率幅均为 0，而基态 $| 2^{t} φ ⟩$ 所对应的概率幅为 1，因此，对式 $(9)$ 中的量子态 $| 2^{t} ~ φ ⟩$ 沿着计算基进行测量将以概率 1 坍缩到 $| 2^{t} φ ⟩$ ，即算法可以精确估计出 $φ$ 。

如果 $2^{t} φ$ 不是整数，那么对式 $(9)$ 中的量子态 $| 2^{t} ~ φ ⟩$ 沿着计算基进行测量时，其坍缩到 $| m ⟩$ （即测量结果为 $m$ ）的概率为

\begin{matrix} p (m) = & | ⟨ m | 2^{t} ~ φ ⟩ |^{2} = & 2^{- 2 t} | (1 - e^{2 π i (2^{t} φ)}) / (1 - e^{2 π i (φ - m / 2^{t})}) |^{2} = & 2^{- 2 t} | sin (2^{t} φ π) / sin ((φ - m / 2^{t}) π) |^{2} = & \frac{{sin}^{2} (2^{t} φ π)}{2^{2 t} {sin}^{2} ((φ - m / 2^{t}) π)} . \\ (13) \end{matrix}

设 $b$ 为 $2^{t} φ$ 四舍五入到个位得到的整数（即离 $2^{t} φ$ 最近的整数），并且令 $ϵ = φ - b / 2^{t}$ ，由式 $(13)$ 可得

\begin{matrix} p (m = b) = \frac{{sin}^{2} (2^{t} ϵ π)}{2^{2 t} {sin}^{2} (ϵ π)} \geq \frac{(\frac{2}{π} (2^{t} ϵ π))^{2}}{2^{2 t} (ϵ π)^{2}} = \frac{4}{π^{2}} \geq 40.5 %, \\ (14) \end{matrix}

其中不等式 $sin (2^{t} ϵ π) \geq 2 / π \cdot (2^{t} ϵ π)$ 是因为 $| 2^{t} ϵ | \leq 1 / 2$ 。因此，对量子态 $| 2^{t} ~ φ ⟩$ 测量时有很大的概率（ $\geq 40.5 %$ ）得到 $φ$ 的最优 $2^{- t}$ -估计。

习题 1. 证明：若 $2^{t} φ \notin Z$ ，则对量子态 $| 2^{t} ~ φ ⟩$ 进行测量的结果为 $| ⌊ 2^{t} φ ⌋ ⟩$ 或 $| ⌈ 2^{t} φ ⌉ ⟩$ 的概率 $\geq \frac{8}{π^{2}} \geq 81 %$ ，这里 $⌊ \cdot ⌋, ⌈ \cdot ⌉$ 分别表示下取整和上取整。提示：

\begin{matrix} p (| m - 2^{t} φ |_{S} < 1) = & 2^{- 2 t} {sin}^{2} (2^{t} ϵ π) ({csc}^{2} (ϵ π) + {csc}^{2} ((ϵ - 2^{- t}) π)) \geq & 2^{- 2 t} {sin}^{2} (2^{t} ϵ π) ({csc}^{2} (ϵ π) + {csc}^{2} ((ϵ - 2^{- t}) π)) |_{ϵ = 2^{- (t + 1)}} = & 2^{1 - 2 t} / sin (2^{- (t + 1)} π)^{2} \geq 8 / π^{2}, \\ (15) \end{matrix}

其中 $ϵ = φ - m / 2^{t}$ 。

这里我们说 $m / 2^{t}$ 是 $φ$ 的一个 $2^{- t}$ -估计。考虑到相位具有周期性，这里距离 $| \cdot |_{S}$ 的定义应当是在单位圆周 ${e^{2 π i φ} | φ \in R}$ 上的，而不是数轴上的距离。 $m$ 与 $m^{'}$ 的距离 $| m - m^{'} |_{S} := min {| m - m^{'} |, 2^{t} - | m - m^{'} |}$ ，而不是简单的 $| m - m^{'} |$ 。

定理 2. 证明：若 $2^{t} φ \notin Z$ ，并且令 $b$ 为 $2^{t} φ$ 四舍五入到个位得到的整数，则对任意正整数 $d > 1$ ，对量子态 $| 2^{t} ~ φ ⟩$ 进行测量的结果 $m$ 落在区间 $[b - d, b + d]$ 外的概率为 $p (| m - b |_{S} > d) \leq \frac{2}{(d - 1) π^{2}}$ 。

证明. 根据式 $(13)$ ，设 $ϵ = φ - 2^{- t} b$ ， $l = m - b$ ，则概率

\begin{matrix} p (| m - b |_{S} > d) = & 2^{- 2 t} {sin}^{2} (2^{t} φ π) 2^{t} + b - d - 1 \sum m = b + d + 1 {csc}^{2} ((φ - m / 2^{t}) π) = & 2^{- 2 t} {sin}^{2} (2^{t} φ π) 2^{t} - d - 1 \sum l = d + 1 {csc}^{2} ((ϵ - l / 2^{t}) π) \leq & 2^{- 2 t} ⎛ ⎝ 2^{t - 1} \sum l = d + 1 {csc}^{2} ((l - 1) π / 2^{t}) + - d - 1 \sum l = - 2^{t - 1} + 1 {csc}^{2} (l π / 2^{t}) ⎞ ⎠ = & 2^{- 2 t} ⎛ ⎝ 2^{t - 1} - 1 \sum l = d {csc}^{2} (l π / 2^{t}) + 2^{t - 1} - 1 \sum l = d + 1 {csc}^{2} (l π / 2^{t}) ⎞ ⎠ \leq & 2 \times 2^{- 2 t} 2^{t - 1} - 1 \sum l = d {csc}^{2} (l π / 2^{t}) \leq & 2^{1 - 2 t} \int_{d - 1}^{2^{t - 1} - 1} {csc}^{2} (x π / 2^{t}) d x = & 2^{1 - 2 t} (- cot (x π / 2^{t}) / (π / 2^{t})) |_{d - 1}^{2^{t - 1} - 1} = & 2^{1 - t} π^{- 1} (cot ((d - 1) π / 2^{t}) - tan (π / 2^{t})) \leq & 2^{1 - t} π^{- 1} cot ((d - 1) π / 2^{t}) \leq & 2 / ((d - 1) π^{2}), \\ (16) \end{matrix}

其中第一个不等号是由于 $| 2^{t} ϵ | \leq 1 / 2 < 1$ 。 $□$

由定理 2 可知，对量子态 $| 2^{t} ~ φ ⟩$ 进行测量的结果 $m$ 将以极大的概率集中在 $2^{t} φ$ 附近的整数值。如果想在保持精度的条件下进一步提升算法的成功概率，通常有两种策略：一是增加辅助寄存器的比特数，二是增加算法运行的次数。比如，若想以概率 $1 - ϵ$ 达到精度 $2^{- n}$ ，根据定理 2，只需将辅助寄存器的量子比特数设置为

\begin{matrix} t = n + ⌈ {log}_{2} (1 + \frac{2}{ϵ π^{2}}) ⌉ \\ (17) \end{matrix}

即可；或者根据 Chernoff 定理，辅助寄存器的比特数仍然设置为 $t = n$ ，但是将整个算法重复运行 $O (log (1 / ϵ))$ 次。

简例与量易伏平台演示

在本段中，我们将使用量易伏平台来演示量子相位估计算法。首先，我们使用 QComposer 来估计一个简单的例子： $U_{1} (π / 2)$ 的相位因子 $1 / 4$ ，并给出对应电路；然后估计一个复杂的例子： $U_{1} (π / 3)$ 的相位因子 $1 / 6$ ，并给出基于混合语言编程的代码。这里：

\begin{matrix} U_{1} (θ) = [\begin{matrix} 1 e^{i θ} \end{matrix}], C (U_{1} (θ)) = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 111 e^{i θ} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦, \\ (18) \end{matrix}

我们使用量易伏中的 CU 门来实现 $C (U_{1} (θ))$ 门：

\begin{matrix} C U (0, 0, θ) = C (U_{1} (θ)) . \\ (19) \end{matrix}

注：需要注意，量易伏平台上模拟返回的字符串采用大端在前的标记方法，从左往右第一位表示的是最高位的量子比特，故对得到的测量结果需要做翻转再进行二进制计算。

对相位因子 $1 / 4$ 进行估计

在本段中，我们使用量易伏的 QComposer 在辅助寄存器使用 $3$ 个量子比特来对 $U_{1} (π / 2)$ 门的本征向量 $| 1 ⟩$ 对应的本征值 $e^{2 π i \cdot 1 / 4}$ 进行相位估计。 QComposer 中的电路如下图 2 所示：

量易伏 QComposer 量子相位估计 — 图 2：量易伏 QComposer 上对 $R_{z} (π / 2)$ 门相位因子 $1 / 4$ 的相位估计电路

其对应的 OPENQASM 代码如下：

OPENQASM 2.0;
include "qelib1.inc";
qreg q[6];
creg c[6];

// 将工作寄存器变为本征向量|1>，得到相位估计算法的初始状态
x q[3];

h q[0];
h q[1];
h q[2]; 
// 至此得到状态1

cu(0,0,pi/2) q[2], q[3];
cu(0,0,pi) q[1], q[3];
cu(0,0,pi*2) q[0], q[3]; 
//至此得到状态2，接下来开始做逆 QFT

swap q[0], q[2];
h q[2];
cu(0,0,-pi/2) q[2], q[1];
h q[1];
cu(0,0,-pi/4) q[2], q[0];
cu(0,0,-pi/2) q[1], q[0];
h q[0]; 
//至此完成逆 QFT，得到状态3，接下来进行测量

measure q[0] -> c[0];
measure q[1] -> c[1];
measure q[2] -> c[2];

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输出结果为：

{
    "010": 1024
}

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由翻转后的测量结果 010 可得相位因子估计结果为 $φ = (010)_{2} / 2^{3} = 1 / 4$ ，对应本征值为 $e^{\frac{1}{4} \cdot 2 π i} = i$ ，与预期相符。这里 $(\cdot)_{2}$ 为整数的二进制表示（可参考第一章第三节）。

对相位因子 $1 / 6$ 进行估计

在本段中，我们给出基于混合语言编程的代码，使用 $t = 6$ 个量子比特来对 $U_{1} (π / 3)$ 门的本征向量 $| 1 ⟩$ 对应的本征值 $e^{2 π i \cdot 1 / 6}$ 进行相位估计，推荐读者在本地使用 QCompute SDK 进行模拟实验。

from QCompute import *
import numpy as np

# 不直接给出输出，后续通过print给出需要信息
from QCompute import Define
Define.Settings.drawCircuitControl = []
Define.Settings.outputInfo = False

# 创建环境
env = QEnv()
# 选择随机数
seed = int(2147483647*np.random.random())
# 选择 Backend 为本地模拟器
# 注：量易伏也支持云端模拟器和真机后端，访问 https://quantum-hub.baidu.com/ 获取更多信息。
env.backend(BackendName.LocalBaiduSim2, '-s ' + str(seed))

shots = 1024

t = 6  # 辅助寄存器的量子比特数
pi = np.pi
theta = pi / 3  # 要被估计的 U1 门的参数
q = [env.Q[i] for i in range(0, t+1)]  # 量子比特的列表
X(q[t])  # 将工作寄存器变为本征向量|1>，得到相位估计算法的初始状态
for i in range(0, t):
    H(q[i])
# 至此得到状态 1

for i in range(0, t):
    CU(0, 0, 2 ** i * theta)(q[t - 1 - i], q[t])
# 至此得到状态2，接下来开始做逆 QFT

# 逆 QFT 的 swap 部分
for i in range(0, t // 2):
    SWAP(q[i], q[t - i - 1])
# 逆 QFT 的第二部分
for i in range(0, t):
    H(q[t - i - 1])
    for j in range(0, i + 1):
        CU(0, 0, -pi / 2 ** (i - j + 1))(q[t - j - 1], q[t - i - 2])
    # 完成逆 QFT，至此得到状态3，接下来进行测量
MeasureZ(q[:-1], range(0, t))  # 测量时没有测量最后一个比特，只测量了算法中的辅助寄存器
taskResult = env.commit(shots, fetchMeasure=True)

print("Shots", taskResult['shots'])
print("Counts", taskResult['counts'])
print("Seed", seed)

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输出结果为

Shots 1024
Counts {
    '110100': 690, 
    '001100': 43, 
    '010100': 195, 
    '000100': 15, 
    '111100': 3, 
    '100100': 28, 
    '101100': 14, 
    '111000': 8, 
    '011000': 5, 
    '011100': 3, 
    '110110': 1, 
    '010101': 1, 
    '110010': 1, 
    '110111': 1, 
    '101111': 1, 
    '110000': 1, 
    '010010': 1, 
    '100010': 2, 
    '101010': 2, 
    '000110': 1, 
    '100111': 1, 
    '010111': 1, 
    '010110': 1, 
    '000000': 1, 
    '101000': 2, 
    '101001': 1, 
    '100001': 1}
Seed 437929267

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在对测量结果翻转后，可得相位估计结果会以很大概率（ $p_{1} = 690 / 1024 \approx 67.4 %$ ）为 ${~ φ}_{1} = (001011)_{2} / 2^{6} = 11 / 64$ ，是预期结果 $1 / 6$ 在精度 $1 / 64$ 下的最佳近似。此外，还会以较大概率（ $p_{2} = 190 / 1024 \approx 19.0 %$ ）为 ${~ φ}_{2} = (001010)_{2} / 2^{6} = 10 / 64$ 是 $1 / 6$ 在精度 $1 / 64$ 下的次佳近似。

注 2.（i）这里只观测了前 $6$ 个比特；（ii）在量子在线平台和 QComposer 输出的结果中，所有的观测的比特的输出结果会按倒序输出，如 "101110" 表示 q[0] 和 q[4] 被观测为 $| 0 ⟩$ ，而其它比特被观测为 $| 1 ⟩$ 。

参考资料

[1] Kitaev, A. Yu. "Quantum measurements and the Abelian stabilizer problem." arXiv preprint quant-ph/9511026, 1995.

[2] Nielsen, Michael A., and Isaac L. Chuang. "Quantum Computation and Quantum Information: 10th Anniversary Edition." Cambridge University Press, 2010.

附录：更一般的情形

当 $| u ⟩$ 不是 $U$ 的本征向量时，设 $U = \sum_{j = 1}^{n} e^{2 π i φ_{j}} | u_{j} ⟩ ⟨ u_{j} |$ 是 $U$ 的谱分解（参见 1.2 节），则 $| u ⟩$ 可分解为：

\begin{matrix} | u ⟩ = n \sum j = 1 ⟨ u_{j} | u ⟩ | u_{j} ⟩ . \\ (20) \end{matrix}

记相位估计算法的量子电路为 $QPE$ 即

\begin{matrix} QPE | 0 ⟩^{\otimes t} | u_{j} ⟩ = | 2^{t} {~ φ}_{j} ⟩ \otimes | u_{j} ⟩, \\ (21) \end{matrix}

那么有

\begin{matrix} QPE | 0 ⟩^{\otimes t} | u ⟩ = n \sum j = 1 ⟨ u_{j} | u ⟩ QPE | 0 ⟩^{\otimes t} | u_{j} ⟩ = n \sum j = 1 ⟨ u_{j} | u ⟩ | 2^{t} {~ φ}_{j} ⟩ | u_{j} ⟩ . \\ (22) \end{matrix}

故而对辅助寄存器测量时一定会以大于 $40.5 %$ 的概率返回 $U$ 的某个本征向量 $| u_{j} ⟩$ 对应的本征值的相位因子的估计值 ${~ φ}_{j}$ 。而这一用法正是被用的更多的情形，比如下一节的 Shor 算法。

最后更新时间：2021年12月20日

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算法步骤
算法结果与分析
简例与量易伏平台演示
参考资料
附录：更一般的情形