量易简

量子纠缠与贝尔不等式

背景介绍

在上一章量子计算一节的最后，我们以贝尔态为例介绍了量子纠缠（Entanglement）的概念，并且看到如果对纠缠态两部分分别测量，其测量结果有高度相关性。量子纠缠及其引发的现象是一种纯粹的量子效应，在经典力学里不存在类似的现象，这困扰了包括爱因斯坦在内的许多物理学家。

局域实在论与 EPR 佯谬

在量子力学诞生之初，量子力学关于波函数 $ψ (x)$ 的概率诠释引发了爱因斯坦和玻尔一场旷日持久的争论 $^{[1]}$ ——量子力学是否完备？1935年，爱因斯坦、波多尔斯基、罗森三人发表了一篇名为“量子力学关于物理实在性的描述是否完备”的文章 $^{[2]}$ ，在历史上首次探讨了量子纠缠产生的反直觉的预测，试图通过基于局域性和实在性的思想论证量子力学的不完备性，这就是 EPR (Einstein-Podolsky-Rosen）佯谬。它建立在两个假设条件上：

局域性（Locality）原则：假设有两个物理系统 A、B，那么对 A 的操作（如测量）不会以超过光速的速度影响到 B。比如两个距离非常远的小球 A、B 之间，我们对 A 球的任何操作都不应该瞬时改变 B 球的状态。
实在性（Realism）原则：当我们不对系统进行任何干扰，却能确定地预言某个物理量的值时，必定存在着一个物理实在的要素对应于这个物理量。

注：在实在性原则中我们用了“确定地预言”这一说法。在量子力学里可以如下理解：若对该物理量进行测量，将以 1 的概率得到预言的结果。

上面两个假设非常的自然，且与相对论保持一致，但是当考虑到量子纠缠态时，这两个看似合理的假设就会与量子力学，尤其是不确定性原理产生矛盾。关于不确定性原理，以粒子的位置与动量为例，由于粒子的位置算符和动量算符是不对易的，统计学上我们无法同时准确地确定粒子的位置和动量信息。故如果可以确定地预言粒子的位置，那么就不可以确定地预言粒子的动量，即粒子的位置和动量不可能同时拥有物理实在。据此爱因斯坦等人提出了“EPR 思想实验”，用以凸显局域实在论与量子力学之间的矛盾。

相比于采用位置与动量作为物理实在，玻姆后续将其简化为测量自旋的实验。下面我们根据玻姆理想实验来阐述 EPR 佯谬，看量子纠缠是如何违反 EPR 佯谬中的两个直觉假设的。

注：玻姆理想实验虽然表明量子力学违反了局域实在论，但并不会实现超光速通信，故并不违反相对论（在下一节量子隐形传态中，我们将做进一步说明。）

玻姆理想实验

考虑有一个发射源，它每次可以发射两个自旋相反的粒子 (你可以把自旋上下想象成黑和白两种颜色，它是粒子的某个内禀属性)，自旋向上的我们记为 $| 0 ⟩$ ，自旋向下的我们记为 $| 1 ⟩$ 。但发射源发射的并不是一个确定的 $| 01 ⟩$ 或者 $| 10 ⟩$ ，而是处于两者的叠加。考虑如下的叠加态:

\begin{matrix} | Ψ^{-} ⟩ = \frac{| 01 ⟩ - | 10 ⟩}{\sqrt{2}}, \\ (1) \end{matrix}

这种态被称为 EPR 态或者 贝尔态，它描述两个粒子作为一个整体所处的状态。回忆一下，物理上如果多量子比特系统的状态不能简单地写成单量子比特状态的张量积形式，我们就称这种叠加态为纠缠态。我们可以很容易验证上述贝尔态没法写成 $| Ψ^{-} ⟩ = | α ⟩ \otimes | β ⟩$ 的形式，其中 $| α ⟩ = a | 0 ⟩ + b | 1 ⟩, | β ⟩ = c | 0 ⟩ + d | 1 ⟩$ 分别是两个单量子比特的态。因此， $| Ψ^{-} ⟩$ 就处于纠缠状态。尽管两个粒子一开始就处于纠缠的状态，我们仍可以将它们在空间上分开。而神奇的是粒子之间的纠缠并不会因为两者距离的增加而减弱或者消失。

在量子电路中，我们可以采用如下方式制备此贝尔态：

对初态 $| 11 ⟩$ 做简单的量子门操作，便可以制备玻姆实验中所用到的贝尔态

\begin{matrix} | 11 ⟩ H ⟶ \frac{1}{\sqrt{2}} (| 01 ⟩ - | 11 ⟩) CNOT ⟶ \frac{1}{\sqrt{2}} (| 01 ⟩ - | 10 ⟩) = | Ψ^{-} ⟩ . \\ (2) \end{matrix}

实验中，假定有两个人 Alice 和 Bob，发射源将两个纠缠粒子中的一个发给 Alice，另外一个粒子发给Bob（符号 $| a b ⟩$ 中的 $a$ 和 $b$ 分别代表 Alice 和 Bob 接受到粒子所处的态， $| 0 ⟩$ 和 $| 1 ⟩$ 是泡利 $Z$ 矩阵的两个本征态)。两人在各自位置对粒子进行测量，因为 Alice 和 Bob 可以离的非常远（比如 Alice 可以在地球，Bob 可以在火星），两人各自的测量不应瞬时互相影响。

Alice 选择泡利 $Z$ 测量（泡利 $Z$ 测量的意思是选择 $Z$ 的本征态作为测量基），测量结果有两种
- 测量结果为 $+ 1$ ，表明 Alice 的粒子处于 $| 0 ⟩$ ，那么 $| Ψ^{-} ⟩$ 将塌缩到 $| 01 ⟩$ 。
- 测量结果为 $- 1$ ，表明 Alice 的粒子处于 $| 1 ⟩$ ，那么 $| Ψ^{-} ⟩$ 将塌缩到 $| 10 ⟩$ 。
在 Alice 测完后 Bob 马上进行泡利 $Z$ 测量
- 若 Alice 测得结果 $+ 1$ ，因为体系处于 $| 01 ⟩$ 态，Bob 得到的结果只能为 $- 1$ ，Bob 测得的态是 $| 1 ⟩$ 。
- 若 Alice 测得结果 $- 1$ ，因为体系处于 $| 10 ⟩$ 态，Bob 得到的结果只能为 $+ 1$ ，Bob 测得的态是 $| 0 ⟩$ 。

这初看起来好像不是非常惊奇，因为在经典情境中，如果发射源给 Alice 和 Bob 分发一黑一白两个经典小球，当 Alice 看到的小球是黑色时，那么她也总能确定地预言 Bob 将看到白球，反之亦然。但是注意到，此处选取泡利 $Z$ 测量并没有特殊性，我们也可以让 Alice 与 Bob 进行泡利 $X$ 测量。这里先对纠缠态 $| Ψ^{-} ⟩$ 换种写法：

\begin{matrix} | Ψ^{-} ⟩ = \frac{| 01 ⟩ - | 10 ⟩}{\sqrt{2}} = \frac{| + - ⟩ - | - + ⟩}{\sqrt{2}} ， \\ (3) \end{matrix}

其中 $| + ⟩ = \frac{| 0 ⟩ + | 1 ⟩}{\sqrt{2}}$ ， $| - ⟩ = \frac{| 0 ⟩ - | 1 ⟩}{\sqrt{2}}$ ，它们分别是泡利 $X$ 矩阵的两个本征态，对应的本征值也为 $+ 1$ 和 $- 1$ 。

Alice 选择泡利 $X$ 测量，测量结果有两种：
- 测量结果为 $+ 1$ ，表明 Alice 的粒子处于 $| + ⟩$ ，那么 $| Ψ^{-} ⟩$ 将塌缩到 $| + - ⟩$ 。
- 测量结果为 $- 1$ ，表明 Alice 的粒子处于 $| - ⟩$ ，那么 $| Ψ^{-} ⟩$ 将塌缩到 $| - + ⟩$ 。
在 Alice 测完后 Bob 马上进行泡利 $X$ 测量：
- 如果 Alice 测得结果为 $+ 1$ ，因为体系处于 $| + - ⟩$ 态，Bob 得到的结果只能为 $- 1$ ，Bob 测得的态是 $| - ⟩$ 。
- 如果 Alice 测得结果为 $- 1$ ，因为体系处于 $| - + ⟩$ 态，Bob 得到的结果只能为 $+ 1$ ，Bob 测得的态是 $| + ⟩$ 。

可以看到，由于 Alice 在测量后总可以确定地预言 Bob 的测量结果，故玻姆实验中，根据实在性原则：如果 Alice 选择泡利 $Z$ 测量，根据测得结果，Bob 的粒子状态将瞬时变为 $| 0 ⟩$ 或者 $| 1 ⟩$ ；而如果 Alice 选择泡利 $X$ 测量，根据测得结果，Bob 的粒子状态将瞬时变为 $| + ⟩$ 或者 $| - ⟩$ 。与“位置和动量”类似，由于泡利 $Z$ 算符与泡利 $X$ 算符也不对易，故根据不确定性原理，粒子不可能对泡利 $Z$ 测量和泡利 $X$ 测量同时拥有物理实在。故若实在性原则被满足，唯一的解释是在地球上 Alice 对粒子选择何种测量以及测量结果将瞬时影响火星上 Bob 的粒子状态，这显然违反了 EPR 假设中的局域性原则！这就是著名的 EPR 佯谬，即玻姆实验中，局域性与实在性不可同时被满足。

贝尔不等式

提出 EPR 佯谬的目的是通过说明量子力学缺乏某些本质的实在性，进而论证量子力学不是一个完备的理论。在 EPR 佯谬文章发表多年后，1964年贝尔提出了一类不等式，被称之为 贝尔不等式 $^{[3]}$ 。这类不等式说的是，假如 EPR 佯谬中的两个假设是成立的，那么有一类实验结果一定满足某个特定的不等式，从而我们可以在真实物理世界中构造相关的实验装置，验证自然界是否遵循 EPR 佯谬的假设，进而判断量子力学是否完备。让实验结果决定到底量子力学还是局域实在论是更为贴切自然的理论描述！

首先要明确的是，贝尔不等式是指一类不等式，而不是特指某个不等式。这里我们以常用的一种贝尔不等式——CHSH（Clauser-Horne-Shimony-Holt）不等式为例，来说明经典世界和量子世界的异同。因为贝尔不等式不是量子力学得到的结果，我们可以暂时忘却关于量子力学的背景知识。

假定如下图所示实验，有三个人 Charlie、Alice 和 Bob：

other bell fig experiment — 图 3: 假想实验示意图。

Charlie 制备了两个粒子并分别将两个粒子分发给 Alice 和 Bob。
Alice 有两台测量设备，每次收到粒子后随机选取某台设备进行测量，两台设备测量结果 $Q, R$ 只取值于 $\pm 1$ 。
Bob 也有两台测量设备，每次收到粒子后随机选取某台设备进行测量，两台设备测量结果 $S, T$ 也只取值于 $\pm 1$ 。
重复以上1-3步，记录实验结果并计算出均值 $E (Q S) 、 E (Q T) 、 E (R S) 、 E (R T)$ 。

注意在第一步中要求 Charlie 每次制备的粒子状态相同。为了保证 Alice 和 Bob 之间的测量互不影响，我们可以假定 Alice 和 Bob 离得足够远，且和 Charlie 的距离相同，Charlie 制备的两个粒子以相同的速度分别朝 Alice 和 Bob 运动，两者在收到粒子后马上进行测量，这种绝对精确的同时测量和足够远的距离都保证了 Alice 和 Bob 所做的测量之间不存在相互干扰。人们发现当局域实在性被满足时，Alice 和 Bob 进行联合测量后上述四项的平均值总是满足不等式

\begin{matrix} E (Q S) + E (R S) + E (R T) - E (Q T) \leq 2. \\ (4) \end{matrix}

这个不等式被称为 CHSH 不等式，是贝尔不等式中常见的一种，关于 CHSH 不等式的简要证明可以参阅本节附录。

通过量子力学预测结果

如果我们引入量子力学的相关知识并进行如下实验：

Charlie 可以制备两个纠缠的粒子，为了方便，我们假设两个粒子处于纠缠贝尔态

\begin{matrix} | Ψ^{-} ⟩ = \frac{| 01 ⟩ - | 10 ⟩}{\sqrt{2}} ， \\ (5) \end{matrix}

Charlie 制备好上述贝尔态后将第一个粒子发给 Alice，第二个粒子发给 Bob。而 Alice 和 Bob 可以对两个粒子进行如下测量

\begin{matrix} Q = Z_{1}, S = \frac{- Z_{2} - X_{2}}{\sqrt{2}} ， R = X_{1}, T = \frac{Z_{2} - X_{2}}{\sqrt{2}} ， \\ (6) \end{matrix}

这里 $Z_{1}, Z_{2}$ 分别表示作用在粒子 $1$ 和 $2$ 上的泡利 $Z$ 算符， $X_{1}, X_{2}$ 分别表示作用在粒子 $1$ 和 $2$ 的泡利 $X$ 算符。这四个算符都具有 $\pm 1$ 的两个本征值。量子力学中，状态 $| ψ ⟩$ 在观测量 $W$ 下的期望值为 $E (W) = ⟨ ψ | W | ψ ⟩$ ，利用泡利算符的性质 $Z | 0 ⟩ = | 0 ⟩, Z | 1 ⟩ = - | 1 ⟩$ 和 $X | 0 ⟩ = | 1 ⟩, X | 1 ⟩ = | 0 ⟩$ ，可以方便的得到

\begin{matrix} E (Q S) & = ⟨ Ψ^{-} ∣ ∣ ∣ Z_{1} \otimes (\frac{- Z_{2} - X_{2}}{\sqrt{2}}) ∣ ∣ ∣ Ψ^{-} ⟩ = \frac{1}{2 \sqrt{2}} (⟨ 01 | - ⟨ 10 |) [Z_{1} \otimes (- Z_{2} - X_{2})] (| 01 ⟩ - | 10 ⟩) = \frac{1}{2 \sqrt{2}} (⟨ 01 | - ⟨ 10 |) (| 01 ⟩ - | 10 ⟩ - | 00 ⟩ - | 11 ⟩) = \frac{1}{2 \sqrt{2}} (⟨ 01 | 01 ⟩ + ⟨ 10 | 10 ⟩) = \frac{1}{\sqrt{2}} . \\ (7) \end{matrix}

同样的，我们能得到

\begin{matrix} E (R S) = \frac{1}{\sqrt{2}}, E (R T) = \frac{1}{\sqrt{2}}, E (Q T) = - \frac{1}{\sqrt{2}} . \\ (8) \end{matrix}

从而我们发现

\begin{matrix} E (Q S) + E (R S) + E (R T) - E (Q T) = 2 \sqrt{2} > 2, \\ (9) \end{matrix}

之前的 CHSH 不等式被违背了！这说明了 EPR 佯谬中的两个假设条件：1）局域性原则；2）实在性原则，至少有一个是错的。自贝尔不等式提出以来，人们进行了大量验证性的物理实验，这些量子层面的实验表明了局域实在论假说并不能站住脚，我们可以在实验上判断 EPR 假设的合理性。

实验年份	实验组	实验平台	贝尔不等式类型	实验测量值 S	实验距离	相关文章链接
1998	Zeilinger	纠缠光子对	CHSH	$2.73 > 2$	400m	PRL.81.5039 (1998)
2004	Monroe	光与原子纠缠	CHSH	$2.218 > 2$	/	PRL.93.090410 (2004)
2009	Zeilinger	纠缠光子对	CHSH	$2.63 > 2$	144km	Nature Physics 5 (2009)
2009	Martinis	超导	CHSH	$2.0732 > 2$	/	Nature 461 (2009)
2012	Weinfurther	$^{87}$ Rb 原子	CHSH	$2.19 > 2$	20m	Science 337 (2012)
2015	Hanson	NV 色心	CHSH	$2.42 > 2$	1.3km	Nature 526 (2015)
2017	Zeilinger	纠缠光子对	CHSH	$2.502 > 2$	1.5km	PRL 118, 060401 (2017)
2018	大贝尔实验室（13个实验室）	六种实验平台	四种贝尔不等式类型	都违背	/	Nature 557 (2018)

总结

本节我们介绍了量子纠缠，贝尔不等式及其实验验证。通过这一节的学习，我们可以获得一些启示。一个非常深刻的教训是：人们关于世界如何运转的直觉并不总是正确的，世界并不是局域实在的。为了更好的理解量子力学，我们需要抛弃局域性或者实在性，抑或两者都抛弃。与此同时，贝尔态这样的纠缠态性质也会让我们对世界的理解更加深刻。量子计算和量子信息的诸多里程碑都来源于对纠缠现象的探索，在其上发展出了诸如隐形传态、超密编码等重要工作，借助纠缠现象我们将步入经典信息论无法想象的新世界。概括的讲，贝尔不等式告诉我们：量子纠缠是一种在本质上不同于经典的全新资源，量子计算和量子信息的一个重要任务就是利用纠缠这种资源更好地进行数据计算和信息处理。这一点，我们也会在后续章节中进一步学习。

参考资料

[1] Skibba, Ramin. "Einstein, Bohr and the war over quantum theory." Nature 555.7698 (2018): 582-585.

[2] Einstein, Albert, Boris Podolsky, and Nathan Rosen. "Can quantum-mechanical description of physical reality be considered complete?." Physical Review 47.10 (1935): 777.

[3] Bell, John S. "On the Einstein-Podolsky-Rosen paradox." Physics 1.3 (1964): 195.

附录：CHSH 不等式的简要证明

我们可以对同时测量的观测值 $Q S + R S + R T - Q T$ 进行简单的代数计算，可以得到

\begin{matrix} Q S + R S + R T - Q T = (Q + R) S + (R - Q) T, \\ (10) \end{matrix}

因为 $R, Q = \pm 1$ ，如果 $R = - Q$ ，我们有 $R + Q = 0$ ， $R - Q = \pm 2$ 。如果 $R = Q$ ，我们有 $R - Q = 0$ ， $R + Q = \pm 2$ 。从而上述公式结果为

\begin{matrix} Q S + R S + R T - Q T = \pm 2 . \\ (11) \end{matrix}

为了求得测量的期望值，可以设测量前系统处于 $Q = q, R = r, S = s, T = t$ 的概率是 $p (q, r, s, t)$ ，这些概率可能依赖于环境和 Charlie 制备两个粒子的手段，则上述公式测量的期望值为

\begin{matrix} E (Q S + R S + R T - Q T) = \sum q, r, s, t p (q, r, s, t) (q s + r s + r t - q t) \leq \sum q, r, s, t p (q, r, s, t) \times 2 = 2, \\ (12) \end{matrix}

其中 $E (\cdot)$ 代表观测量的期望值，这里我们用到了 $| q s + r s + r t - q t | = 2$ 和 $\sum_{q, r, s, t} p (q, r, s, t) = 1$ 的条件。

另一方面，期望值满足公式

\begin{matrix} E (Q S + R S + R T - Q T) = \sum q, r, s, t p (q, r, s, t) q s + \sum q, r, s, t p (q, r, s, t) r s + \sum q, r, s, t p (q, r, s, t) r t - \sum q, r, s, t p (q, r, s, t) q t . \\ (13) \end{matrix}

在局域实在假设下，有

\begin{matrix} \sum p, r, s, t p (q, r, s, t) q s = \sum q, s p (q, s) q s \sum r, t p (r, t) = \sum q, s p (q, s) q s = E (Q S), \\ (14) \end{matrix}

上述公式可以展开为四项期望值之和

\begin{matrix} E (Q S + R S + R T - Q T) = E (Q S) + E (R S) + E (R T) - E (Q T), \\ (15) \end{matrix}

从而能得到贝尔实验中四项期望值满足不等式

\begin{matrix} E (Q S) + E (R S) + E (R T) - E (Q T) \leq 2. \\ (16) \end{matrix}

最后更新时间：2021年12月20日

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附录：CHSH 不等式的简要证明